Calculul structural

 După stabilirea tipului și valorilor de proiectare ale acțiunilor și după predimensionarea structurii se poate trece la efectuarea calculului structural. Calculul structural se realizează utilizând programe de calcul specializate bazate pe elemente finite. Prin caculul structural se determină eforturile și deformațiile elementelor structurale sub acțiuni. Pentru modelarea pentru calcul a structurilor în cadre în aplicații practice inginerești se utilizează următoarele tipuri de elemente:

-          elemente de tip bară – pentru modelarea stâlpilor și grinzilor; 

-          elmente de suprafață – pentru modelarea plăcilor;

-          resoarte liniare pentru modelarea legăturii cu terenul, după caz.

 În acest capitol se face o prezentare schematică a principalelor aspecte de care trebuie să se țină cont la modelarea unei structuri în cadre de beton armat. Având în vedere numărul mare de programe de calcul disponibile și a diferențelor semnificative între acestea, s-a optat numai pentru prezentarea aspectelor generale specifice modelării structurilor din beton armat.

 

Modelarea de ansamblu

 În cazul structurilor care îndeplinesc criteriile de regularitate în plan orizontal și în elevație,  se admite calculul structural pe modele elastice considerând acțiunea seismică separat pe cele două direcții principale.

 Calculul structurilor în cadre se face pe modele  spațiale. Calculul suprastructurii se poate realiza separat de calculul infrastructurii. Toate grinzile și stâlpii structurii se modelează prin elemente de tip bară. Lungimea grinzilor se ia egală cu distanța interax dintre stâlpii adiacenți. Lungimea stâlpilor la oricare dintre niveluri se consideră egală cu înălțimea de nivel (aceasta înseamnă că axele grinzilor se plasează la fața superioară a plăcii de la fiecare nivel). 

 Stâlpii se modelează încastrați la cota superioară a placii de peste subsol unde se consideră secțiunea teoretică de încastrare a structurii. 

 În modelare se consideră continuitate la noduri între toate elementele care se intersectează pentru transmiterea momentelor încovoietoare, a momentelor de torsiune, a forțelor tăietoare și a forțelor axiale.

 Plăcile se modelează prin elemente de suprafață.  Pentru reducerea necesarului de calcul, rampele scărilor de beton armat pot fi neglijate în calcul. Elementele nestructurale (pereți de închidere și compartimentare, parapeți, atic, etc.) nu se modelează în calculul structural cu condiția ca acestea să fie realizate astfel încât să nu influențeze răspunsul structural sub cutremurul corespunzător stării limită ultime decât prin masa suplimentară pe care o aduc.  

 Betonul armat este un material compozit oțel-beton. Proprietățile fizico-mecanice ale materialului  compozit depind de proprietățile celor două materiale constituente, de proporția între acestea, și de modul de alcătuire al elementelor de beton armat. În modelarea structurilor de beton armat se operează pentru simplitate cu un singur material ale cărui proprietăți fizico-mecanice se stabilesc convențional pentru a surprinde cât mai apropiat comportarea elementelor reale de beton armat.  Pentru calculul structural în domeniu elastic la acțiuni gravitaționale și seismice trebuie declarate următoarele proprietăți ale materialului structural:

-          modulul de elasticitate (raportul dintre efortul unitar și deformația specifică a materialului): se declară modulul de elasticitate al betonului conform clasei de rezistență aleasă; valorile modului de elasticitate pentru diferite clase de beton sunt date în EN 1992-1-1;

-          coeficientul lui Poisson (raportul dintre deformația specifică transversală și deformația specifică axială): se declară coeficientul lui Poisson specific betonului cuprins între 0,1 și 0,2.

-          coeficientul de dilatare termică liniară (alungirea unității de lungime sub efectul unei variații a temperaturii de 1 grad): se declară coeficientul de dilatare termică liniară a betonului egal cu aprox. 10^-5  K^-1 în cazul în care se calculează structura și sub efectul variațiilor de temperatură;

-          masa volumică (masa unui metru cub de material): se declară o valoare a masei corespunzătoare betonului puternic armat 2400 … 2500 kg/m³;

-          greutatea volumică (greuntatea unui metru cub de material): se declară o valoare a greutății corespunzătoare betonului puternic armat 24 … 25 kN/m³, în acord cu valaorea declarată a masei volumice (factor de proproționalitate g ≈ 10 m/s²).

 

Modelarea stâlpilor și grinzilor

 Modelarea elementelor de tip bară presupune definirea caracteristicilor geometrice și mecanice. Geometria elementului de tip bară este descrisă prin definirea lungimii elementului. În programele inginerești curente, caracteristicile mecanice (momente de inerție, arii de forfecare, raze de girație, etc.) sunt calculate automat pentru fiecare element pe baza caracteristicilor geometrice a unei secțiuni transversale atribuită elementului în mod convențional. Pentru calculul static elastic, în definirea secțiunii transversale se introduc caracteristicile geometrice ale secțiunii de beton ale grinzii. 

 În cazul grinzilor de cadru executate monolit, se ține seama de conlucrarea grinzii cu placa de beton. În structura reală, placa de beton este rezemată la partea superioară a grinzii și conlucrează cu aceasta datorită armăturilor trasversale de conectare. În modelul structural elementul de tip placă este amplasat în axa elementului de tip bară și nu contribuie practic la rigiditatea acestuia la încovoiere față de axa orizontală. Astfel, pentru modelarea corectă a caracteristicilor de rigiditate la încovoiere pentru elementele de tip bară amplasate în axele centrale trebuie declarate secțiuni convenționale uzuale în formă de T.

Modelarea conlucrării grinzii cu placa

 Echivalarea secțiunii grinzilor de margine

 Pe grinzile amplasate în axele marginale, placa reazemă numai dintr-o singură parte și secțiunea uzuală este în formă de L intors. Această secțiune poate fi echivalată pentru încovoiere față de axa orizontală a secțiunii transversale cu o secțiune T având lungimea aripilor egală cu jumătate din lungimea aripii secțiunii L întors. Această schematizare este convenabilă în unele programe de calcul unde definirea rapidă a secțiunilor în formă de L este anevoioasă. Echivalența dintre cele două tipuri de secțiuni se face astfel încât caracteristicile mecanice ale secţiunii față de axa orizontală a secțiunii transversale să fie identice.

 P100-1/2013 nu are prevederi explicite privind stabilirea caracteristicilor geometrice ale secțiunilor transversale convenționale pentru calculul rigidității grinzilor care conlucrează cu placa. Prevederile din cod de la paragraful 5.3.4.1.1. (2) se referă la calculul rezistenței la încovoiere a secțiunii. Totuși aceste prevederi pot fi utlizate orientativ și pentru pentru calculul caracteristicilor de rigiditate ale grinzilor. În practica de proiectare din România lățimea de placă activă se determină considerând lungimi ale aripilor secțiunii T egale cu 3h_f unde h_f este grosimea plăcii.

Secțiuni convenționale pentru grinzi monolit

 Modelarea stâlpilor de beton nu ridică probeleme deosebite. Dacă stâlpii au proporții de elemente lungi care răspund predominant la încovoiere cu forță axială atunci modelul de tip bară este potrivit deoarece eforturile unitare orientate în lungul barei și eforturile tangențiale sunt determinante în timp ce eforturile unitare orientate perpendicular pe axa barei pot fi neglijate. Secțiunea transversală a stâlpilor structurilor în cadre este clar definită și nu necesită schematizări speciale.

 Materialul ideal cu răspuns elastic omogen utilizat în mod curent în calculul structural are proprietăți de rigiditate constante indiferent de amplitudinea solicitărilor. Spre deosebire de acesta, betonul armat este un material compozit oțel-beton care evidențiează stagii de comportare distincte în funcție de amplitudinea solicitărilor. Elementele de beton armat fisurează încă din faza de întărire a betonului, procesul de fisurare evoluând apoi sub acțiuni exterioare sau interioare. Fisurarea betonului conduce la reducerea semnificativă a rigidității elementelor structurale. Rigiditatea elementelor structurale de beton armat se modifică în funcție de starea de fisurare care este evolutivă. Rigiditatea elementelor fisurate de beton armat nu poate fi apreciată cu un grad suficient de încredere la momentul proiectării. În aplicații inginerești practice, pentru calculul structural conventional elastic se utilizează valori secante ale rigidității elementului pentru a ține seama de starea de fisurare. Codul de proiectare P100-1/2013 recomandă ca, în lipsa unor metode pertinente de calcul a rigidității elementelor de beton armat fisurate, în calculul structural să se considere valori nete ale rigidității egale cu jumătate din rigiditatea brută a secțiunilor nefisurate. 

 Acestă reducere cauzată de fisurarea betonului se referă la rigiditatea la încovoiere a elementului structural. Reducerea de rigiditate la încovoiere se face prin reducerea momentului de inerție al secțiunii transversale față de valoarea corespunzătoare secțiunii nefisurate. Întrucât rigiditatea stâlpilor poate fi afectată de fisurare în egală măsură față oricare direcție orizontală a secțiunii transversale, modulul de rigiditate la încovoiere trebuie redus față de ambele axe locale ale secțiunii (axele 2 și 3 conform exemplului din figura următoare).  

(13)

  unde

 I_2-2 momentul de inerție redus (net) al secțiunii transversale față de axa locală 2

 E_c ­modulul de elasticitate al betonului

 I_g^2-2 momentul de inerție întreg (brut) al secțiunii trasnversale față de axa locală 2

 I_3-3 momentul de inerție redus (net) al secțiunii transversale față de axa locală 3

 I_g^3-3 momentul de inerție întreg (brut) al secțiunii trasnversale față de axa locală 3

 Reducerea prin multiplicare cu 0,5 este valabilă în situația în care stâlpii sunt solicitați la compresiune. Dacă în stâlpi apar forte de întindere mari este necesară aplicarea unor factori de reducere mai mici.              

 Rigiditatea grinzilor la încovoiere se reduce în principal față de axa locală așezată în planul orizontal care conține axa grinzii (axa 3).   Rigiditatea la încovoiere față de celaltă axă locală așezată în planul secțiunii transversale nu este necesar să fie redusă întrucât placa împiedică deformațiile grinzii în plan orizontal. 

(14)

 Fisurarea betonului afectează puternic rigiditatea la torsiune a stâlpului și grinzii. Întrucât nu sunt disponibile metode practice de estimare a rigidității la torsiune în stadiul fisurat și stabilitatea structurii nu depinde de rezistența la torsiune a elementelor structurale, rigiditatea la torsiune poate fi neglijată în calcul structural. Pentru aceasta, factorul de modificare a rigidității la torsiune a barei se ia, la limită, egal cu 0. Considerarea valorii întregi a rigidității la torsiune a stâlpilor și grinzilor în calculul structural este neacoperitoare, conducând la valori subestimate ale deplasărilor structurii sub acțiuni orizontale.

 Fisurarea betonului nu afectează rigiditatea la compresiune a stâlpilor și grinzilor. Ca urmare, în special în cazul stâlpilor, rigiditatea la forță axială nu trebuie redusă față de cea corespunzătoare secțiunii brute. 

(15)

 unde A_g este aria brută a secțiunii de beton.

Exemplu de poziționare a axelor locale

 În aplicarea relațiilor (13), (14)  și (15), adaptarea rigidității elementelor de tip bară se poate face fie modificarea modului de elasticitate al materialului, E, prin modificarea momentului de inerție sau ariei, I sau A, sau prin soluții combinate.  Dacă la nivel de model se folosește un singur tip de material având un modul de elasticitate unic, E=E_c, atunci adaptarea rigidităților se face prin modificarea proprietăților secțiunii transversale (I sau A). Aceasta este soluția utilizată de regulă în calculul structurilor în cadre. Alternativ, modelarea structurii se poate face utilizând materiale diferite, având modulul de elasticitate redus în raport cu cel al betonului, și păstrând nemodificate proprietățile mecanice ale secțiunii. Adaptarea modulului de elasticitate produce modificarea uniformă a tuturor proprietăților de rigiditate care caracterizează secțiunea transversală (rigiditate la încovoiere, la torsiune, la forță axială, etc.).

 În structura reală, grinzile și stâlpii se intersectează în noduri care au dimensiuni relativ mari în planul cadrului. De exemplu, pentru un cadru plan cu stâlpi de 80 cm și deschidere interax de 5,00 m, nodul are 80 cm lățime și deschiderea liberă a grinzii este de 4,20 m. Deformația din încovoiere este posibilă practic numai pe deschiderea liberă a grinzii (deschiderea măsurată între fețele laterale ale stâlpilor) (vezi figura urmatoare, a). Pe lățimea nodului, din cauza proprietăților geometrice ale acestuia, se manifestă practic numai deformații din forță tăietoare, care sunt mult mai reduse decât cele din încovoiere. Dacă modelarea elementelor cadrului se face cu elemente de tip bară este necesară modelarea explicită a nodului prin elemente care să împiedice deformațiile din încovoiere în nod.

 În modelul de calcul structural, grinzile și stâlpii sunt reprezentate prin elemente de tip bară, fără dimensiuni în direcție transversală, a căror intersecție este reprezentată de un punct. Pe distanța dintre două puncte de intersecție barele se pot deforma libere (vezi figura urmatoare, b) . Acest mod de comportare diferă față de comportarea așteptată a structurii reale. Deschiderile grinzilor și stâlpilor sunt mai mari și și rigiditatea acestora este subevaluată.

 Pentru a realiza un compromis între comportarea așteptată a structurii reale și comportarea modelului alcătuit din elemente de tip bară intersectate în puncte, la modelarea grinzilor și stâlpilor se definesc proprietăți de rigiditate diferite ale barelor pe lungimile de intersecție dintre grinzi și stâlpi (vezi figura urmatoare, c) . Se pot defini bare scurte cu secțiuni fictive având rigiditate foarte mare prin comparație cu rigiditatea grinzilor și stâlpilor adiacenți. Lungimile barelor corespund dimensiunilor zonei de intersecție dintre stâlpi și grinzi (noduri). Aceste zone cu rigiditate modificată poartă denumirea de zone „infinit rigide”.

Deformata grinzii de cadru modelată prin elemente de tip bară

 Această particularitate de modelare este în mod particular importantă în cazul cadrelor solicitate la acțiuni seismice, care au stâlpi cu dimensiuni mari ale secțiunii transversale raportat la deschiderea grinzilor adiacente. Neglijarea rigidității nodului este acoperitoare din punt de vedere al deformațiilor laterale ale structurii dar alterează caracteristicile dinamice ale structurii.

 La definirea secțiunilor de grinzi în formă de T se ține seama de creșterea masei și greutății structurii care poate fi cauzată de suprapunerea dintre placa declarată explicit în model (prin elemente de suprafață) și placa declarată în secțiunea grinzilor. Dublarea zonei de placă în vecinătatea grinzilor are impact semnificativ asupra masei și greutății totale a modelului. La declararea secțiunilor de grinzi cu placă la partea superioară se declară factori de modificare a masei și greutății subunitari. Aceștia se calculează ca raportul dintre aria inimi grinzii situată sub intradosul plăcii și aria totală a secțiunii în formă de T.

 

Modelarea plăcii

 Elementele de suprafață sunt elemente plane definite prin două dimensiuni. Acestor elemente li se atribuie în mod convențional grosime pentru calculul automat al proprietăților mecanice. 

 Dacă modelarea plăcii se face numai pentru calculul structurii în ansamblu, atunci placa poate fi modelată prin elemente de suprafață de tip membrană. Aceste elemente lucrează numai la eforturi orientate în planul lor. Conectarea grinzilor și stâlpilor la nivelul fiecărui planșeu prin membrane orizontale asigură coordonarea deformațiilor orizontale ale acestora. La modelarea planșeului prin elemente de tip membrană trebuie ținut seama că membranele nu pot prelua acțiuni perpendiculare pe planul lor și, drept urmare, încărcările gravitaționale trebuie amplasate direct pe grinzile de reazem în model. Alternativ, modelarea de plăcii prin elemente de tip membrană poate fi înlocuită prin restricționarea completă a deplasărilor relative în plan orizontal ale nodurilor modelului la fiecare nivel. În această situație, planșeele sunt practic declarate ca infinit rigide pentru acțiuni în planul lor. Acestă ipoteză este acceptabilă în cazul structurilor în cadre la care deplasările orizontale ale stâlpilor la noduri sunt mult mai mari decât deformațiile planșeului adiacent în plan orizontal. În cazul structurilor cu pereți, declararea planșeelor ca diafragme infint rigide nu este acceptată întrucât alterează semnificativ starea de eforturi în elementele verticale. Dacă prin calcul se urmărește și calcul eforturilor în plăci sub încărcări normale pe planul acestora, plăcile se modelează cu elemente de tip „shell”. Aceste elemente lucrează atât la acțiuni perpendiculare pe plan cât și la acțiuni orientate în plan. Modelarea tuturor planșeelor cu elemente de tip „shell” este costisitoare din punct de vedere al efortului de calcul. Această abordare este de regulă evitată în aplicații inginerești curente.

  La modelarea plăcilor cu elemente de suprafață, acestea trebuie discretizate. Această operație presupune împărțirea fiecărui ochi de placă într-un număr finit de elemente care aproximează întregul. Gradul și modalitatea de discretizare trebuie stabilită în acord cu recomandările din manualul programului de calcul utilizat. În lipsa unei discretizări potrivite erorile de calcul alterează total rezultate obținute. În aplicații curente, ochiurile de placă rectangulară la care raportul laturilor este cuprins între 0,5 și 2 se împart uniform în cel puțin 16-25 de elemente de formă rectangulară. Orientativ, latura acestor elemente trebuie să aibă lungimea mai mică de 1,0 m. Aceste recomandări de principiu trebuie analizate în raport cu recomadările din manualul de utilizare.