Calculul la forță tăietoare

 

 Grinzile și stâlpii structurilor în cadre se calculează întotdeauna considerând valorile de proiectare ale forțelor tăietoare care corespund mobilizării mecanismului de plastificare. Mecanismul optim presupune formarea articulațiilor plastice la capetele grinzilor și la baza stâlpilor de la parter. Forțele tăietoare de proiectare reprezintă practic valorile maxime ale forțelor tăietoare care se pot mobiliza în stâlpi şi grinzi, indiferent de intensitatea cutremurului, fiind limitate de capacitatea de rezistență la încovoiere a acestora.

1. Calculul grinzilor la forță tăietoare

În cazul grinzilor, valoarea de proiectare a forței tăietoare se determină ca suma dintre:

a)      forța tăietoare din acțiunile gravitaționale cuprinse în combinația seismică de proiectare (combinația de acțiuni GS);

b)     forța  tăietoare corespunzătoare încărcării grinzii cu momentele asociate mobilizării mecanismului de plastificare în structură, M_db, calculate pentru fiecare capăt de grindă; dacă grinzile sunt proiectate astfel încât să se plastifice la ambele capete, atunci în calcul se consideră momentele capabile.

(41)

 În figură se exemplifică modul de calcul al valorilor de proiectare ale forțelor tăietoare pentru grinda de la nivelul 3, cadrul longitudinal ax 1, pentru sensul de acțiune seismică X pozitiv. 

Calculul valorilor de proiectare ale forțelor tăietoare în grindă, V_Ed (kN)

 Pentru deschiderea dintre axele A și B, din calculul structural se extrag valorile forțelor tăietoare din combinația de acțiuni GS (acțiuni gravitaționale din combinația seismică de proiectare):

 Se extrag valorile momentelor capabile la capete, corespunzătoare semnului articulațiilor plastice pentru sensul de acțiune seismică X pozitiv:

 Se determină forțele tăietoare corespunzătoare încărcării grinzii cu momentele capabile la capete:

(42)

unde: 

L_cl  deschiderea liberă (lumina) a grinzii.

 Se determină valorile de proiectare ale forțelor tăietoare:

(43)

 În mod similar, se determină forțele tăietoare de proiectare și pentru sensul opus de acțiune seismică:

(44)

Convenția de semne și reprezentare pentru forțele tăietoare din grinzi

(45)

 În figura următoare se prezintă valorile forțelor tăietoare rezultate din calculul structural din acțiuni gravitaționale corespunzătoare combinației seismice de proiectare pentru întreg cadrul longitudinal din axul 1. 

 Forțele tăietoare în grinzi din acțiuni gravitaționale din combinația seismică de proiectare, V’_Ed^grav (kN)

 

 În figura următoare sunt prezentate valorile forțelor tăietoare corespunzătoare încărcării grinzilor la capete cu momentele capabile. 

Convenția de reprezentare este explicată anterior.

 Forţele taietoare asociate încărcării grinzilor cu momentele capabile la capete V_Ed^seism (kN), pentru cele două sesuri opuse de acțiune seismică

 Valorile de proiectare ale forțelor tăietoare pentru cadrul longitudinal din axul 1 sunt prezentate în figura următoare. 

Valorile de proiectare ale forțelor tăietoare în grinzi, V_Ed (kN), pentru cele două sesuri opuse de acțiune seismică

 Analiza forțelor tăietoare care se mobilizează la capete grinzilor pentru cele două sensuri opuse de acțiune seismică în direcția cadrului arată în ce măsură solicitarea de forță tăietoare cauzează degradarea de rezistență și rigiditate a elementului. 

 În cazul structurii analizate, acțiunea seismică este predominantă și influențează decisiv semnul forței tăietoare la capetele grinzilor pentru cele două sensuri de acțiune seismică. De exemplu, pentru grinda de la nivelul 3, deshiderea A-B, la capătul din stânga s-a determinat valoarea de -160 kN pentru sensul de încărcare X pozitiv și 274 kN pentru sensul de încărcare X negativ. Solicitarea de forță tăietoare este agresivă întrucât, de la un semiciclu de încărcare la altul, forța tăietoare îşi schimbă semnul și amplitudinile în cele două sensuri sunt apropiate. Se poate aștepta o degradare puternică de rezistență și rigiditate în timpul cutremurului dacă nivelul efortului tangenţial mediu normalizat este ridicat.

 În codul P100-1/2013 pentru a analiza agresivitatea forței tăietoare din acest punct de vedere se utilizează factorul ζ, care reprezintă raportul dintre forța tăietoare minimă și forța tăietoare maximă la capătul unei grinzi. Pentru capătul din stânga al grinzii menționate în paragraful anterior, valoarea raportului ζ este:

(46)

 Dacă valorile și semnele V_Ed,min și V_Ed,max se aleg corect atunci raportul ζ trebuie să se situeze între -1 și 1. ζ = -1 reprezintă situația cea mai defavorabilă de solicitare, ζ = 1 reprezintă situația în care cutremurul este nesemnificativ.

 Dat fiind ca semnul forțelor tăietoare este convențional, în calculul raportului ζ semnul minus se atribuie minimului dintre cele două valori în valoare absolută iar semnul plus se atribuie maximului. 

 Pentru capătul din dreapta al aceleiaşi grinzi:

(47)

 Conform codului P100-1/2013, dacă ζ > -0,5 starea de solicitare din punct de vedere al reversibilității forței tăietoare nu este deosebit de agresivă, calculul la forță tăietoare puntându-se face conform prevederilor SR EN 1992-1-1:2004 considerând un unghi θ de înclinare al bielei comprimate de 45º. Calculul lui ζ pentru toate zonele critice ale grinzilor aparținând cadrului transversal din axul 1 pune în evidență valori situate în jurul limitei de -0,5 (vezi Figura 46).

Valorile raportului ζ=V_Ed,min/V_Ed,max la capetele grinzilor

 Dacă ζ < -0,5 atunci situația de solicitare este agresivă întrucât forța tăietoare schimbă de semn și are amplitudini apropiate pentru cele două sensuri de acțiune seismică. În această situație codul prevede verificarea intensității forței tăietoare medii normalizate, ν’. Valoarea limită până la care se consideră că amplitudinea forței tăietoare este moderată este (2+ζ). Dacă ν’ este mai mare decât (2+ζ) amplitudinea forței tăietoare este mare și este necesară prevederea de armătură înclinată în zonele critice ale grinzii. Această armătură se dispune suplimentar faţă de cea rezultată din calcul la forţă tăietoare, având rolul de a limita tendinţa de lunecare a grinzii în secţiunile verticale din vecinătatea reazemelor. Această lunecare poate fi favorizată de deteriorarea puternică a inimii de beton cauzată de deformaţiile ciclice alternante în domeniul plastic.

 Pentru capătul din stânga al grinzii de la nivelul 3, deschiderea A-B, cadrul longitudinal ax 1:

(48)

 Nu este necesară dispunerea de armătură înclinată în zona critică de la capătul din stânga deoarece:

(49)

 Analizând îndeplinirea acestei condiții pentru întreg cadru longitudinal din axul 1 se observă că în nicio zonă critică nu este necesară, conform prevederilor P100-1, dispunerea de armătură înclinată. Calculul la forță tăietoare se poate face în toate zonele critice ale grinzilor conform SR EN 1992-1-1, considerând un unghi de înclinare al bielelor comprimate de 45º.

Verificarea condiției ν’<(2+ζ) la capetele grinzilor unde ζ < -0,5

 În acest exemplu de calcul, se abordează iterativ proiectarea armăturii transversale, prin dispunere pe criterii constructive și verificări succesive, astfel:

1)     Se dispune armătura transversală, pentru zonele critice și zonele curente ale grinzilor, conform prevederilor minime constructive privind asigurarea ductilității grinzilor din P100-1/2013;

2)     Se determină forța tăietoare capabilă în zonele critice și în zonele curente

3)     Se compară valorile forțelor tăietoare capabile cu valorile forțelor tăietoare de proiectare

4)     În zonele unde condiția de verificare nu este îndeplinită, se suplimentează armătura transversală și se reia verificarea de la punctul (2).

 Condiția din P100-1 privind limitarea distanței maxime între etrieri pentru asigurarea ductilității locale este:

s ≤ min {hw /4; 150 mm; 8dbL}

(50)

 În relaţia de mai sus se utilizează, pentru fiecare zonă de armare transversală, diametrul minim al armăturilor longitudinale din grinzi. În zonele critice ale grinzilor armate longitudinal cu bare Ø12, întâlnite numai la ultimele două niveluri, se dispun etrieri la pas de maxim 10 cm: 

s ≤ min {650 /4; 150 mm; 8·12} s ≤ min {162,5; 150 mm; 96}≈100 mm

(51)

Dacă diametrul minim al armăturilor longitudinale este Ø16, distanţa maximă între etrieri este:

s ≤ min {650 /4; 150 mm; 8·16} s ≤ min {162,5; 150 mm; 128}≈125 mm

(52)

 Soluția de armare transversală propusă pentru asigurarea rezistenței la forță tăietoare și a ductilității locale este dată în figura următoare. Soluția de armare poate fi adaptată în faza de detaliere a proiectului, prin echivalarea procentelor de armare transversală, astfel încât să fie asigurate și alte condiții de bună practică sau, pentru asigurarea ductilității locale. De exemplu, se recomandă ca distanța între armăturile longitudinale comprimate legate la colțul unui etrier sau la capătul unei agrafe să nu depășească 200 mm. Astfel, se poate alege un diametru mai mic al etrierilor și un numar mai mare de brațe (4) sau, se pot dispune suplimentar agrafe, în funcție de numărul de bare longitudinale din secțiune.

 În afara zonelor critice se prevede o cantitate de etrieri cel puțin egală cu jumătate din cea din zona critică, iar calculul forței tăietoare capabile se va face conform SR EN 1992-1-1, ca pentru elemente care nu parte din structuri seismice.

 Armarea transversală a grinzilor în zonele critice şi în zonele curente

 Conform  SR EN 1992-1-1, forța tăietoare capabilă reprezintă valoarea minimă dintre forța tăietoare ce poate fi preluată de biela comprimată de beton, V_Rd,max, și forța tăietoare ce poate fi “suspendată” prin intermediul etrierilor, V_Rd,s. 

 Forța V_Rd,max se calculează în funcție de caracteristicile secțiunii de beton și de calitatea betonului. În zonele critice se consideră un unghi de înclinare al bielelor comprimate măsurat față de axa longitudinală a grinzii, θ, egal cu 45^º. Brațul de pârghie al eforturilor interioare, z, se aproximează cu 0,9d. Pentru zonele curente, θ, se calculează conform prevederilor SR EN 1992-1-1. Pentru grinzile structurii analizate, care au aceeași secțiune, valoarea V_{Rd, max} este unică:

		(53)
		(54)

 Valorile V_Rd,s sunt diferite, în funcție de soluția de armare adoptată pentru fiecare grindă în parte. Pentru grinda de la nivelul 3, deschiderea A-B, cadrul marginal 1, capătul din stânga:

(55)

 Forța tăietoare capabilă a grinzii de la nivelul 3, deschiderea A-B, cadrul marginal 1, în zona critică de la capătul din stânga este:

(56)

 Valorile forțelor tăietoare capabile pentru cadrul longitudinal ax 1 sunt date în figura următoare. Se observă că aceste valori sunt superioare valorilor de proiectare ale forțelor tăietoare. Așa cum s-a precizat anterior, soluția de armare transversală poate fi adaptată în faza de detaliere prin echivalarea procentului de armare.

Forțe tăietoare capabile în zonele critice ale grinzilor, V_Rd (kN), pentru θ=45º

 

2. Calculul stâlpilor la forță tăietoare

 Valorile de proiectare ale forțelor tăietoare se determină din condiția de echilibru a stâlpilor încărcați la capete, la fiecare nivel, cu momentele încovoietoare asociate mobilizării mecanismului de plastificare în suprastructură. 

 În cazul de față, mecanismul de plastificare optim se mobilizează prin formarea articulațiilor plastice la capetele grinzilor și la baza stâlpilor de la parter. Momentele de la capetele stâlpilor asociate mobilizării mecanismului de plastificare, M_db, sunt mai mici decât momentele capabile ale acestora (M_Rc), stâlpii răspunzând în domeniul elastic. Excepție fac secțiunile de la baza stâlpilor unde se formează articulații plastice.

 Conform P100-1, M_db se determină cu relaţia:

(57)

 Pentru cadrul longitudinal din axul 1, valorile ΣM_Rb/ΣM_Rc se determină ca inversul valorilor calculate anterior ΣM_Rc/ΣM_Rb, fiind în toate situațiile subunitare.

 Momentele M_db se determină prin înmulțirea valorilor momentelor încovoietoare capabile ale stâlpilor cu inversul valorilor ΣM_Rc/ΣM_Rb și cu factorii γ_Rd corespunzători (1,3 pentru parter și 1,2 în rest).

 De exemplu, pentru stâlpul de la nivelul 3, axul A, cadrul longitudinal din axul 1, pentru sensul de încărcare seismică X pozitiv:

(58)

 Dacă grinzile au suprarezistențe scăzute la încovoiere, valorile de proiectare ale momentelor din stâlpi sunt apropiate de cele rezultate din calculul static. În unele situații, aplicarea acestui procedeu de calcul poate să conducă la valori ale momentelor încovoietoare corespunzătoare mobilizării mecanismului de plastificare inferioare momentelor rezultate din calculul static în combinația seismică de proiectare. De aceea, P100-1 impune o limită minimă asupra momentelor M_db calculate cu relația (57): 

(59)

unde: 

M’_Ed,i  momentul încovoietor dezvoltat în secţiunea de la capătul “i” al stâlpului considerat, în combinaţia seismică relevantă.

 M_db,jos calculat cu relația (58) nu respecta această limită:

(60)

 Prin urmare, valoarea momentului care trebuie considerată în secţiunea de la capătul inferior al stâlpului va fi: 

(61)

 Valorile momentelor M_db astfel calculate pentru tot cadrul longitudinal din axul 1 sunt prezentate în figura următoare. Convenția de semne și reprezentare este dată anterior.

Figura 54: Momentele pentru calculul valorilor de proiectare ale forțelor tăietoare în stâlpi, M_db(kNm)

Valorile de proiectare ale forțelor tăietoare se determină prin scrierea ecuației de echilibru al stâlpului încărcat la capete cu momentele M_db și forțele tăietoare corespunzătoare.

Eforturi care acționează stâlpul în situația plastificării structurii (nu sunt reprezentate forțele axiale)

 De exemplu, pentru stâlpul de la nivelul 3, axul A:

(62)

 Valorile de proiectare ale forțelor tăietoare pentru toţi stâlpii cadrului longitudinal din axul 1 sunt date în figura următoare.

 

Forțele tăietoare de proiectare în stâlpi, V_Ed (kN), corespunzătoare celor două sesuri de acțiune seismică

 

 Armarea transversală trebuie să respecte regulile minime constructive din P100-1.

 Pentru zona critică de la baza stâlpilor, distanța maximă între etrieri pentru asigurarea ductilității locale este:

s ≤ min { b0 /3; 125 mm; 6dbL} s ≤ min {680 /4; 125 mm; 6x16} s ≤ min {170; 125 mm; 96}≈100mm

(63)

 Coeficientul minim de armare este:

(64)

 Dacă se consideră dispunerea etrierilor în secțiunea transversală conform reprezentării din figură, rezultă un număr echivalent de ramuri de etrier de 1∙4 +1∙sin 45º + 1∙cos 45º=5,41. Prin urmare diametrul minim al etrierului este de 10 mm.

Armarea transversală a stâlpilor

 Armarea propusă îndeplinește condiția privind coeficientul mecanic minim de armare transversală:

unde,

(65)

 Pentru restul zonelor critice, distanța maximă între etrieri pentru asigurarea ductilității locale este:

s ≤ min { b0 /3; 125 mm; 7dbL} s ≤ min {680 /4; 125 mm; 7x16} s ≤ min {170; 125 mm; 112}=100mm

(66)

 Coeficientul minim de armare este:

(67)

 Dacă se consideră dispunerea etrierilor în secțiunea transversală conform reprezentării din figură, rezultă un număr echivalent de ramuri de etrier de 5,41. Prin urmare diametrul minim al etrierului este de 8 mm. Armarea propusă îndeplineşte condiţiile privind coeficientul mecanic de armare minim:

(68)

 Forța tăietoare maximă care poate fi transmisă prin intermediul bielei comprimate de beton este:

(69)

 În figura următoare se prezintă soluțiile de armare alese pentru zonele critice ale stâlpilor și forțele tăietoare capabile corespunzătoare. Se observă că armarea propusă pe baza condițiilor constructive minime este suficientă pentru îndeplinirea verificării de rezistență la forță tăietoare.

 

 Armările transversale în zonele critice ale stâlpilor şi forțele tăietoare capabile corespunzatoare, V_Rd (kN)