Utilizarea simetriei în Metoda Deplasărilor

Simetrie în Metoda Deplasărilor

Structurile care prin forma lor, tipurile de rezemări și caracteristicile geometrice ale secțiunilor transversale respectă condiția de simetrie se numesc structuri simetrice. În Metoda Deplasărilor, utilizarea proprietăților de simetrie conduce la simplificări, concretizate în reducerea numărului de necunoscute.

La cadre simetrice se pot obține simplificări importante de rezolvare, ținând seama că perechile de bare dispuse simetric, în raport cu axa de simetrie a cadrului, au aceiași coeficienți de rigiditate și factori de transmitere. Simplificarea se referă la reducerea numărului de necunoscute, rezultând și o reducere a numărului ecuațiilor de condiție. Aceasta se realizează considerând încărcările date descompuse într-o componentă simetrică și una antisimetrică, rezolvând separat cadrul pentru fiecare din ele. Utilizând Metoda Deplasărilor pentru rezolvarea structurilor simetrice se vor analiza următoarele două moduri de calcul: procedeul semistructurilor și procedeul grupării necunoscutelor.

Indiferent de procedeul utilizat, trebuie să se țină cont de particularitățile Metodei Deplasărilor, respectiv de modul de comportare în Sistemul de Bază a barei dublu încastrate, intersectată de axa de simetrie la mijlocul deschiderii. În acest sens se consideră bara dublu încastrată în cele două situații de încărcare: rotirile de la capetele barei sunt simetrice, respectiv antisimetrice.

    

                 

  

            

    

            

Figura 1

În cazul încărcării simetrice (Figura 1a), deformata barei este simetrică (cu tangenta zero în axa de simetrie), iar diagrama de moment încovoietor este simetrică (în cazul de față constantă).

Valorile momentelor de la capete se determină prin suprapunere de efecte (efectul rotirii fiecărui nod, respectiv θ_i și θ_j=-θ_i), respectiv:

Unde M_ij, M_ji reprezintă momentele de încastrare perfectă produsă de forțele exterioare în secțiunile i respectiv j și care își conțin și semnul. În cazul încărcării simetrice M_ij=-M_ji deformata barei este simetrică, diagrama de moment încovoietor fiind simetrică. În cazul încărcării antisimetrice (Figura 1b), deformata barei este antisimetrică (cu punct de inflexiune în axa de simetrie), diagrama de moment încovoietor fiind antisimetrică. Valorile momentelor de la capete se determină prin suprapunere de efecte (efectul rotirii fiecărui nod, cu θi și θj=-θi) respectiv:

Procedeul semistructurilor

Principiile ce stau la baza alegerii semistructurilor sunt aceleași ca la structurile static nedeterminate în care se utilizează Metoda Forțelor. În cazul calculului practic se pot face următoarele precizări:
1. În cazul încărcărilor simetrice, structurile cu noduri deplasabile care nu au rigla în două pante se comportă ca structuri cu noduri fixe.
2. În cazul barei dublu încastrate intersectată de axa de simetrie la mijlocul deschiderii se vor utiliza diagramele din Figura 1, în funcție de încărcare.

 

Aplicaţie

Să se traseze diagrama de moment încovoietor la structura din figura următoare utilizând procedeul semistructurilor.

                                  

Structura este simetrică având rigla centrală în două pante, deci este o structură cu noduri deplasabile, având două grade de libertate. Semistructura corespunzătoare încărcării simetrice are un grad de libertate. Particularitatea unei asemenea structuri constă în aceea că în deplasarea pe direcția gradului de libertate se deformează și rigla.

Sistemul ecuațiilor de condiție este:

                            

Rigiditățile practice ale barelor sunt:

Coeficienții necunoscutelor și termenii liberi sunt:

                           

Sistemul de ecuații este:

Momentele încovoietoare finale sunt calculate prin suprapunere de efecte cu relația:

Diagrama finală de momente este:

 

 

Procedeul grupării necunoscutelor

În acest procedeu se operează pe structura întreagă. Astfel, Sistemul de Bază rezultă întotdeauna simetric, iar necunoscutele simple sunt grupate în necunoscute grupate simetric și necunoscute grupate antisimetric. În acest fel sistemul general al ecuațiilor de condiție se descompune în două sisteme independente; unul care conține numai necunoscutele grupate simetric și altul care conține numai necunoscutele grupate antisimetric. Evident că numărul total de necunoscute din cele două sisteme este egal cu numărul de necunoscute simple ale structurii date.

Ca idee generală, pentru o încărcare simetrică se folosește grupul de ecuații care conține necunoscutele grupate simetric, iar pentru o încărcare antisimetrică se folosește grupul de ecuații care conține necunoscutele grupate antisimetric.

Se consideră următoarea figură:

                                     

                  

Pentru structura prezentată anterior rotirile nodurilor simetrice se pot grupa în rotiri grupate simetric și rotiri grupate antisimetric. Rotirea nodului din axa de simetrie va fi o rotire simplă antisimetrică. Translațiile pe direcțiile gradelor de libertate sunt deplasări simple, ele nu se pot grupa, deci vor fi două necunoscute, iar pentru gruparea antisimetrică vor fi cinci necunoscute.

Pentru structura următoare (are două grade de libertate), acestea se pot grupa ca și rotirile nodurilor rigide simetrice. Astfel rezultă pentru gruparea simetrică două necunoscute, iar pentru gruparea antisimetrică trei necunoscute.

                   

                  

Aplicaţie
Să se traseze diagrama de moment încovoietor la structura din figura următoare utilizând procedeul grupării necunoscutelor.

Structura este simetrică și încărcată oarecare. Încărcarea oarecare se descompune într-o componentă simetrică și o componentă antisimetrică. Se rezolvă separat pentru cele două situații de încărcare și apoi se suprapun efectele.

Încărcarea simetrică

                 

                   

În cazul încărcării simetrice structura se comportă ca o structură cu noduri fixe. Astfel rezultă o singură necunoscută, rotirea nodurilor, grupată simetric. În diagrama m₁ pe riglă momentul încovoietor este constant și egal cu 2i₁₁ .

Rigiditățile practice ale barelor sunt  

 

Ecuația de condiție este:

 

Unde:

Necunoscuta:

Încărcarea antisimetrică

                 

         

          

Structura fiind simetrică și încărcată antisimetric va avea deformata antisimetrică. Rotirile nodurilor se grupează antisimetric. Din încărcarea cu aceste rotiri, pe riglă apare o diagramă antisimetrica cu valorile 6i₁₁' la extremități.

Scrierea ecuațiilor de condiție:

Coeficienții necunoscutelor și termenii liberi sunt:

Sistemul de ecuații este:

Din sistemul de ecuații rezultă că necunoscutele au valorile:

Prin suprapunerea de efecte rezultă diagrama de momente încovoietoare pe structura reală cu încărcare oarecare.